I. PENDAHULUAN
Teori Bahasa
Teori bahasa membicarakan bahasa formal (formal language), terutama untuk kepentingan perancangan kompilator (compiler) dan pemroses naskah (text processor).
Bahasa formal adalah kumpulan kalimat. Semua kalimat dalam sebuah bahasa dibangkitkan oleh sebuah tata bahasa (grammar) yang sama. Sebuah bahasa formal bisa dibangkitkan oleh dua atau lebih tata bahasa berbeda.
Dikatakan bahasa formal karena grammar diciptakan mendahului pembangkitan setiap kalimatnya.
Bahasa manusia bersifat sebaliknya; grammar diciptakan untuk meresmikan kata-kata yang hidup di masyarakat. Dalam pembicaraan selanjutnya ‘bahasa formal’ akan disebut ‘bahasa’ saja.
Automata
Automata adalah mesin abstrak yang dapat mengenali (recognize), menerima (accept), atau membangkitkan (generate) sebuah kalimat dalam bahasa tertentu.
Beberapa Pengertian Dasar
• Simbol adalah sebuah entitas abstrak (seperti halnya pengertian titik dalam
geometri). Sebuah huruf atau sebuah angka adalah contoh simbol.
• String adalah deretan terbatas (finite) simbol-simbol. Sebagai contoh, jika a, b,dan c adalah tiga buah simbol maka abcb adalah sebuah string yang dibangun dari ketiga simbol tersebut.
• Jika w adalah sebuah string maka panjang string dinyatakan sebagai IwI dan didefinisikan sebagai cacahan (banyaknya) simbol yang menyusun string tersebut.
Sebagai contoh, jika w = abcb maka Iw I= 4.
• String hampa adalah sebuah string dengan nol buah simbol. String hampa
dinyatakan dengan simbol ε (atau ^) sehingga IεI= 0. String hampa dapat
dipandang sebagai simbol hampa karena keduanya tersusun dari nol buah simbol.
• Alfabet adalah himpunan hingga (finite set) simbol-simbol.
Operasi Dasar String
Diberikan dua string : x = abc, dan y = 123
• Prefik string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol paling belakang dari string w tersebut.
Contoh : abc, ab, a, dan ε adalah semua Prefix(x)
• ProperPrefix string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan
menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol paling belakang dari string w
tersebut.
Contoh : ab, a, dan ε adalah semua ProperPrefix(x)
• Postfix (atau Sufix) string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol paling depan dari string w tersebut.
Contoh : abc, bc, c, dan ε adalah semua Postfix(x)
• ProperPostfix (atau PoperSufix) string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol paling depan dari string w tersebut.
Contoh : bc, c, dan ε adalah semua ProperPostfix(x)
• Head string w adalah simbol paling depan dari string w.
Contoh : a adalah Head(x).
• Tail string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan
simbol paling depan dari string w tersebut.
Contoh : bc adalah Tail(x).
• Substring string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan
menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol paling depan dan/atau simbol-
simbol paling belakang dari string w tersebut.
Contoh : abc, ab, bc, a, b, c, dan ε adalah semua Substring(x)
• ProperSubstring string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan
menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol paling depan dan/atau
simbolsimbol paling belakang dari string w tersebut.
Contoh : ab, bc, a, b, c, dan ε adalah semua Substring(x)
• Subsequence string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan
menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol dari string w tersebut.
Contoh : abc, ab, bc, ac, a, b, c, dan ε adalah semua Subsequence(x)
• ProperSubsequence string w adalah string yang dihasilkan dari string w
dengan menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol dari string w tersebut.
Contoh : ab, bc, ac, a, b, c, dan ε adalah semua Subsequence(x)
• Concatenation adalah penyambungan dua buah string. Operator concatenation
adalah concate atau tanpa lambang apapun.
Contoh : concate(xy) = xy = abc123
• Alternation adalah pilihan satu di antara dua buah string. Operator alternation
adalah alternate atau I.
Contoh : alternate(xy) = xIy = abc atau 123
• Kleene Closure : x* = εIxIxxIxxxI… = εIxIx2 Ix3 I…
• Positive Closure : x+ = xIxxIxxxI… = xIx2 Ix3 I…
Beberapa Sifat Operasi
• Tidak selalu berlaku : x = Prefix(x)Postfix(x)
• Selalu berlaku : x = Head(x)Tail(x)
• Tidak selalu berlaku : Prefix(x) = Postfix(x) atau Prefix(x) ≠ Postfix(x)
• Selalu berlaku : ProperPrefix(x) ≠ ProperPostfix(x)
• Selalu berlaku : Head(x) ≠ Tail(x)
• Setiap Prefix(x), ProperPrefix(x), Postfix(x), ProperPostfix(x), Head(x), dan
Tail(x) adalah Substring(x), tetapi tidak sebaliknya
• Setiap Substring(x) adalah Subsequence(x), tetapi tidak sebaliknya
• Dua sifat aljabar concatenation :
♦ Operasi concatenation bersifat asosiatif : x(yz) = (xy)z
♦ Elemen identitas operasi concatenation adalah ε : εx = xε = x
• Tiga sifat aljabar alternation :
♦ Operasi alternation bersifat komutatif : xIy = yIx
♦ Operasi alternation bersifat asosiatif : xI(yIz) = (xIy)Iz
♦ Elemen identitas operasi alternation adalah dirinya sendiri : xIx = x
• Sifat distributif concatenation terhadap alternation : x (yIz) = xyIxz
• Beberapa kesamaan :
♦ Kesamaan ke-1 : (x*)* = (x*)
♦ Kesamaan ke-2 : εIx+ = x+ Iε = x*
♦ Kesamaan ke-3 : (xIy)* = εIxIyIxxIyyIxyIyxI… = semua string yang
merupakan concatenation dari nol atau lebih x, y, atau keduanya.
II. GRAMMAR DAN BAHASA
Konsep Dasar
1. Dalam pembicaraan grammar, anggota alfabet dinamakan simbol terminal
atau token.
2. Kalimat adalah deretan hingga simbol-simbol terminal.
3. Bahasa adalah himpunan kalimat-kalimat. Anggota bahasa bisa tak hingga
kalimat.
4. Simbol-simbol berikut adalah simbol terminal :
• huruf kecil awal alfabet, misalnya : a, b, c
• simbol operator, misalnya : +, −, dan ×
• simbol tanda baca, misalnya : (, ), dan ;
• string yang tercetak tebal, misalnya : if, then, dan else.
5. Simbol-simbol berikut adalah simbol non terminal :
• huruf besar awal alfabet, misalnya : A, B, C
• huruf S sebagai simbol awal
• string yang tercetak miring, misalnya : expr dan stmt.
6. Huruf besar akhir alfabet melambangkan simbol terminal atau non terminal,
misalnya : X, Y, Z.
7. Huruf kecil akhir alfabet melambangkan string yang tersusun atas simbol-
Simbol terminal, misalnya : x, y, z.
8. Huruf yunani melambangkan string yang tersusun atas simbol-simbol terminal
atau simbol-simbol non terminal atau campuran keduanya, misalnya : α, β,
dan γ.
9. Sebuah produksi dilambangkan sebagai α → β, artinya : dalam sebuah
derivasi dapat dilakukan penggantian simbol α dengan simbol β.
10. Simbol α dalam produksi berbentuk α → β disebut ruas kiri produksi
sedangkan simbol β disebut ruas kanan produksi.
11. Derivasi adalah proses pembentukan sebuah kalimat atau sentensial.
Sebuah derivasi dilambangkan sebagai : α ⇒ β.
12. Sentensial adalah string yang tersusun atas simbol-simbol terminal atau
simbol-simbol non terminal atau campuran keduanya.
13. Kalimat adalah string yang tersusun atas simbol-simbol terminal. Jelaslah
bahwa kalimat adalah kasus khusus dari sentensial.
14. Pengertian terminal berasal dari kata terminate (berakhir), maksudnya
derivasi berakhir jika sentensial yang dihasilkan adalah sebuah kalimat (yang
tersusun atas simbol-simbol terminal itu).
15. Pengertian non terminal berasal dari kata not terminate (belum/tidak
berakhir), maksudnya derivasi belum/tidak berakhir jika sentensial yang
dihasilkan mengandung simbol non terminal.
Grammar dan Klasifikasi Chomsky
Grammar G didefinisikan sebagai pasangan 4 tuple : VT , VN , S, dan Q, dan
dituliskan sebagai G(VT , VN , S, Q), dimana :
VT : himpunan simbol-simbol terminal (atau himpunan token -token, atau
alfabet)
VN : himpunan simbol-simbol non terminal
S ∈ VN : simbol awal (atau simbol start)
Q : himpunan produksi
Berdasarkan komposisi bentuk ruas kiri dan ruas kanan produksinya (α → β), Noam Chomsky mengklasifikasikan 4 tipe grammar :
1. Grammar tipe ke-0 : Unrestricted Grammar (UG)
Ciri : α, β ∈ (VT I VN )*, I α I > 0
2. Grammar tipe ke-1 : Context Sensitive Grammar (CSG)
Ciri : α, β ∈ (VT I VN )*, 0 < I α I ≤ I β I
3. Grammar tipe ke-2 : Context Free Grammar (CFG)
Ciri : α ∈ VN , β ∈ (VT I VN )*
4. Grammar tipe ke-3 : Regular Grammar (RG)
Ciri : α ∈ VN , β ∈ {VT , VT VN } atau α ∈ VN , β ∈ {VT , VN VT }
Mengingat ketentuan simbol-simbol (hal. 3 no. 4 dan 5), ciri-ciri RG sering
dituliskan sebagai : α ∈ VN , β ∈ {a, bC} atau α ∈ VN , β ∈ {a, Bc}
Tipe sebuah grammar (atau bahasa) ditentukan dengan aturan sebagai berikut :
A language is said to be type-i (i = 0, 1, 2, 3) language if it can be
specified by a type-i grammar but can’t be specified any type-(i+1)
grammar.
Contoh Analisa Penentuan Type Grammar
1. Grammar G1 dengan Q1 = {S → aB, B → bB, B → b}. Ruas kiri semua
produksinya terdiri dari sebuah VN maka G1 kemungkinan tipe CFG atau RG.
Selanjutnya karena semua ruas kanannya terdiri dari sebuah VT atau string
VT VN maka G1 adalah RG.
2. Grammar G2 dengan Q2 = {S → Ba, B → Bb, B → b}. Ruas kiri semua
produksinya terdiri dari sebuah VN maka G2 kemungkinan tipe CFG atau
RG. Selanjutnya karena semua ruas kanannya terdiri dari sebuah VT atau
string VN VT maka G2 adalah RG.
3. Grammar G3 dengan Q3 = {S → Ba, B → bB, B → b}. Ruas kiri semua
produksinya terdiri dari sebuah VN maka G3 kemungkinan tipe CFG atau
RG. Selanjutnya karena ruas kanannya mengandung string V T V N (yaitu bB)
dan juga string VN VT (Ba) maka G3 bukan RG, dengan kata lain G3 adalah
RG.
4. Grammar G4 dengan Q4 = {S → aAb, B → aB}. Ruas kiri semua produksinya
terdiri dari sebuah VN maka G4 kemungkinan tipe CFG,CSG atau RG. Selanjutnya karena ruas kanannya mengandung string yang panjangnya lebih dari 2 (yaitu aAb) maka G4 bukan RG, dengan kata lain G4 adalah CSG.
5. Grammar G5 dengan Q5 = {S → aA, S → aB, aAb → aBCb}. Ruas kirinya
mengandung string yang panjangnya lebih dari 1 (yaitu aAb) maka G5
kemungkinan tipe CSG atau UG. Selanjutnya karena semua ruas kirinya lebih
pendek atau sama dengan ruas kananya maka G5 adalah CSG.
6. Grammar G6 dengan Q6 = {aS → ab, SAc → bc}. Ruas kirinya mengandung
string yang panjangnya lebih dari 1 maka G6 kemungkinan tipe CSG atau
UG. Selanjutnya karena terdapat ruas kirinya yang lebih panjang daripada
ruas kananya (yaitu SAc) maka G6 adalah UG.
Derivasi Kalimat dan Penentuan Bahasa
Tentukan bahasa dari masing-masing grammar berikut :
1. G1 dengan Q1 = {1. S → aAa, 2. A → aAa, 3. A → b}.
Jawab :
Derivasi kalimat terpendek : Derivasi kalimat umum :
S ⇒ aAa (1) S ⇒ aAa (1)
⇒ aba (3) ⇒ aaAaa (2)
…
⇒ an Aan (2)
⇒ an ban (3)
Dari pola kedua kalimat disimpulkan : L1(G1 ) = { an ban I n ≥ 1}
2. G2 dengan Q2 = {1. S → aS, 2. S → aB, 3. B → bC, 4. C → aC, 5. C → a}.
Jawab :
Derivasi kalimat terpendek : Derivasi kalimat umum :
S ⇒ aB (2) S ⇒ aS (1)
⇒ abC (3) …
⇒ aba (5) ⇒ an-1S (1)
⇒ anB (2)
⇒ anbC (3)
⇒ an baC (4)
…
⇒ an bam-1C (4)
⇒ an bam (5)
Dari pola kedua kalimat disimpulkan : L2 (G2 ) = { an bam I n ≥ 1, m ≥ 1}
3. G3 dengan Q 3 = {1. S → aSBC, 2. S → abC, 3. bB → bb,
4. bC → bc, 5. CB → BC, 6. cC → cc}.
Jawab :
Derivasi kalimat terpendek 1: Derivasi kalimat terpendek 3 :
S ⇒ abC (2) S ⇒ aSBC (1)
⇒ abc (4) ⇒ aaSBCBC (1)
Derivasi kalimat terpendek 2 : ⇒ aaabCBCBC (2)
S ⇒ aSBC (1) ⇒ aaabBCCBC (5)
⇒ aabCBC (2) ⇒ aaabBCBCC (5)
⇒ aabBCC (5) ⇒ aaabBBCCC (5)
⇒ aabbCC (3) ⇒ aaabbBCCC (3)
⇒ aabbcC (4) ⇒ aaabbbCCC (3)
⇒ aabbcc (6) ⇒ aaabbbcCC (4)
⇒ aaabbbccC (6)
⇒ aaabbbccc (6)
Dari pola ketiga kalimat disimpulkan : L3 (G3 ) = { an bn cn I n ≥ 1}
Mesin Pengenal Bahasa
Untuk setiap kelas bahasa Chomsky, terdapat sebuah mesin pengenal bahasa. Masing-masing
mesin tersebut adalah :
Kelas Bahasa Mesin Pengenal Bahasa
Unrestricted Grammar (UG) Mesin Turing (Turing Machine), TM
Context Sensitive Grammar (CSG) Linear Bounded Automaton, LBA
Context Free Gammar (CFG) Automata Pushdown (Pushdown Automata), PDA
Regular Grammar, RG Automata Hingga (Finite Automata), FA
Catatan :
1. Pengenal bahasa adalah salah satu kemampuan mesin turing.
2. LBA adalah variasi dari Mesin Turing Nondeterministik.
3. Yang akan dibahasa dalam kuliah Teori Bahasa dan Automata adalah : TM
(sekilas), FA,dan PDA.
